什么是线性代数？

线性代数是数学的一个分支学科，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组。

基本概念

• 行列式：设有n^2个数，排成n行n列的数表\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)^t，得到形如(-1)^{t}_{a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}的项，其中p_1p_2\cdots p_n为自然数1,2,⋯,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!，因而形如(-1)^{t}_{a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}的项共有n!项。所有这n!项的代数和\sum (-1)^{t}_{a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}称为n阶行列式，记作D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}，简单记作\det(a_{ij})，其中a_{ij}为行列式D 的(i,j)元。

• 矩阵：由m × n个数a_{ij} (i = 1, 2, \cdots, m; j = 1, 2, \cdots, n)排成的 m 行 n列的数表 \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}称为 m 行 n 列矩阵，简称 "m × n"矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}，这 m × n个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数a_{ij}位于矩阵 A的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的 (i,j)元，以数a_{ij}为(i,j)元的矩阵可简记作(a_{ij})或(a_{ij})_{m×n}。m×n矩阵 A 也记作

A_{m×n}。

• 线性方程组：线性方程组描述了向量从一个向量空间到另一个向量空间的变换。线性方程组的研究内容包括变换矩阵、特征值和特征向量等。线性方程组是线性代数历史上的第一个分支，是线性代数许多思想的源头。比如，行列式和矩阵都产生于方程组的研究。设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}，其中a_{ij}是第 i 个方程的第 j 个未知数的系数，b_j是第 i 个方程的常数项，i = 1, 2, \dots, m \ ; \ j = 1, 2, \dots, n，当常数项b_1, b_2, \ldots, b_m不全为零时，该线性方程组叫做 n 元非齐次线性方程组或一般线性方程组，当b_1, b_2, \ldots, b_m全为零时，上式成为\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}，叫做 n 元齐次线性方程组。n元线性方程组往往简称为线性方程组或方程组。

• 向量空间：设 V 是 n 维向量构成的非空集合，且满足

  • 对任意 α , β∈V，有 α+β ∈ V（对向量加法运算封闭）；

  • 对任意 α ∈ V和任意数k，有 kα ∈ V（对向量数乘运算封闭）。

则称集合V为向量空间。